微积分学示例

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

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