微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 5.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

解题步骤 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 10.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 (π)}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.3

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\cos (\frac{π}{2})$ 。

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.4

将 $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.5

将 $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9.2.2

约去公因数。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9.2.3

重写表达式。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.10

将 $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.11

要将 $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 10.3.12

组合 $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

解题步骤 10.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

解题步骤 10.3.14

组合 $8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{8}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 10.3.15

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.15.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 10.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 10.3.15.2.2

约去公因数。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 10.3.15.2.3

重写表达式。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2}{1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 10.3.15.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

解题步骤 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{8}$

解题步骤 11.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{8}$

解题步骤 11.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 π + 2 (1 - 0)}{8}$

解题步骤 11.5

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{0 + 2 (1 - 0)}{8}$

解题步骤 11.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 (1 + 0)}{8}$

解题步骤 11.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{8}$

解题步骤 11.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2}{8}$

解题步骤 11.9

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{8}$

解题步骤 11.10

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 11.10.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{8}$

解题步骤 11.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.10.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

微积分学 示例

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