微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

解题步骤 1

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4 x}$ 。

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

解题步骤 4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

解题步骤 5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sin (8 x)$ 。

$\frac{\sin (8 x)}{x}$

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