微积分学示例

$\int 5 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$5 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$5 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

解题步骤 7.2

将 ${\tan (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

解题步骤 9

化简。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$5 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$5 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 12.2

将 $C + \tan (x) + C$ 和 $0$ 相加。

$5 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 13

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 14

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

解题步骤 15.2

将 ${\sec (x)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

解题步骤 16

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

解题步骤 17

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 17.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 17.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 17.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 17.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

解题步骤 18

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 19

应用常数不变法则。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 20

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 21.2

化简。

$5 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

解题步骤 22

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

解题步骤 23

将 $- \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$5 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

解题步骤 24

重新排序项。

$5 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

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