微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 1

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

解题步骤 2

用 $x^{2}$ 除以 $- x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

解题步骤 2.7

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

解题步骤 2.8

将新的商式项乘以除数。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

解题步骤 2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

解题步骤 2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

解题步骤 2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 8.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12

化简。

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

解题步骤 13

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

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