微积分学示例

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

解题步骤 3.2

组合 $\cos^{2} (2 x)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $\cos^{2} (2 x)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.4.2

用 $\cos^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 5.4.2

重新排序 $\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ 的因式。

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$

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