微积分学示例

$\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $80$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}$ 对 $t$ 的导数是 $80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}]$ 。

$80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \sin (0.6 t)$ 且 $g (t) = t$ 。

$80 \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (0.6 t)] - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 0.6 t$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $0.6 t$ 。

$80 \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$80 \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.3.3

使用 $0.6 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.4

因为 $0.6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.6 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \frac{d}{d t} [t])) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.7

将 $0.6$ 乘以 $1$ 。

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \cdot 0.6) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.8

将 $0.6$ 移到 $\cos (0.6 t)$ 的左侧。

$80 \frac{t (0.6 \cdot \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$80 \frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 2.10

组合 $80$ 和 $\frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ 。

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

解题步骤 3

因为 $15$ 对于 $t$ 是常数，所以 $15$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $0.6$ 乘以 $80$ 。

$\frac{48 (t (\cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $80$ 。

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}} + 0$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

解题步骤 4.3

从 $48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $48 t \cos (0.6 t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 80 \sin (0.6 t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t) - 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

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