微积分学示例

$y = \frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 2 x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 5$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 (2 x)) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $2 x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{2} x - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{1 + 2} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 8 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x \cdot x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x^{1} x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{1 + 2})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.7

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

合并 $- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.4.2.1

将 $- 8 x^{3}$ 和 $8 x^{3}$ 相加。

$\frac{20 x - 4 x + 0}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

将 $20 x - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 x - 4 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.3

从 $20 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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