微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 7}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3})}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{7} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $\sqrt{7} \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{\sqrt{7}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $7 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $7$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t)) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1$ 中分解出因数 $7$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $7$ 和 $\tan^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.7

从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3} (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $\tan (t)$ 和 $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3} \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3}$ 和 $\sqrt{7}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t)) \sqrt{7}}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.4

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1 + 1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7 \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.9

将 $7$ 移到 $\tan (t)$ 的左侧。

$\int \frac{1}{\frac{7 \cdot \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{7 \tan (t) \sec (t)}{3}$ 。

$\int 1 \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.11

将 $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.12

将 $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ 。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{7 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

解题步骤 2.2.13

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{21 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.14

约去公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $21 \tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.2

约去公因数。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.3

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.15.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15.2

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.16

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.16.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.16.2

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

使用 $arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}}) + C$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3}{\sqrt{7}} x) + C$

微积分学 示例

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