微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.1.3

求微分。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 3.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = e^{- 1}$

解题步骤 3.3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

解题步骤 3.6

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $- \frac{u_{2}}{2}$ 在 $e^{- t^{2}}$ 处和在 $\frac{1}{e}$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ 重写为乘积形式。

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.3

将 $2$ 移到 $e$ 的左侧。

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

计算极限值。

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解题步骤 7.1.1

因为项 $4$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

解题步骤 7.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.1.3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.2

因为指数 $- t^{2}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.3

计算极限值。

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解题步骤 7.3.1

计算 $\frac{1}{2 e}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.3.2

化简答案。

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解题步骤 7.3.2.1

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

解题步骤 7.3.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 e}$ 相加。

$4 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 7.3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

解题步骤 7.3.2.3.2

从 $2 e$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

解题步骤 7.3.2.3.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

解题步骤 7.3.2.3.4

重写表达式。

$2 \frac{1}{e}$

解题步骤 7.3.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{2}{e}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{e}$

小数形式：

$0.73575888 \dots$

微积分学 示例

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