微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{3} - x^{2} + x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.7

将 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.8

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.11

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

用 $3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 4.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (3 - 2 + 1)$

解题步骤 4.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.5.2

重写表达式。

$1$

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