微积分学示例

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 重写为 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 。

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.3

化简 $e^{0}$ 。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.4

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.5

化简 $e^{0}$ 。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.1.6

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

解题步骤 4.3.1.6.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 7

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 9

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 15

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 16

化简。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 17.2

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

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