微积分学示例

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[5]{7 + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $7$ 和 $25$ 相加。

$\frac{\sqrt[5]{32} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$\frac{\sqrt[5]{2^{5}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{0}{7 - 7}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt[5]{x + 25} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x + 25}$ 重写成 ${(x + 25)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = x + 25$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 25$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $x + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{- 4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 7} \frac{1}{{(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 ${(x + 25)}^{\frac{4}{5}}$ 的指数 $\frac{4}{5}$ 移到极限外。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2.6

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 3

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $7$ 和 $25$ 相加。

$\frac{1}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 4.3.2

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$\frac{1}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 4.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{4}}$

解题步骤 4.3.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{5 \cdot 16}$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$\frac{1}{80}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{80}$

小数形式：

$0.0125$

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