微积分学示例

$\int_{0}^{1} (1 + 2 x + 3 x^{2}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1) + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4

化简。

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解题步骤 9.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.4.2.2

约去公因数。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.4.2.3

重写表达式。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.6

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$1 + 2 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.8.1

约去公因数。

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.8.2

重写表达式。

$1 + 1 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.10

一的任意次幂都为一。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.4.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

解题步骤 9.2.4.12

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 9.2.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.2

约去公因数。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.3

重写表达式。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.2.4.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 + 3 (\frac{1}{3} - 0)$

解题步骤 9.2.4.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 + 3 (\frac{1}{3} + 0)$

解题步骤 9.2.4.14

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 + 3 (\frac{1}{3})$

解题步骤 9.2.4.15

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 + \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.4.16

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.16.1

约去公因数。

$2 + \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.4.16.2

重写表达式。

$2 + 1$

解题步骤 9.2.4.17

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 10

微积分学 示例

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