微积分学示例

$f (x) = x^{3}$ at $(1, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$3 {(1)}^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $3$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $3 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = 3 x - 3$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 3 x - 3 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$y = 3 x - 2$

解题步骤 3

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