微积分学示例

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{3} + 3$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 3$ 。

$- 4 x^{3} + 3$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 x^{3} = - 3$

解题步骤 5.3

将 $- 4 x^{3} = - 3$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 4 x^{3} = - 3$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{3} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

解题步骤 5.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 5.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.5.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 5.5.3.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.5.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.5.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.5.4.1

约去公因数。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.3.5.4.2

重写表达式。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 5.5.3.5.5

计算指数。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 5.5.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.4.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

解题步骤 5.5.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

解题步骤 5.5.4.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

解题步骤 5.5.4.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5.5.4.4

从根式下提出各项。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

解题步骤 5.5.4.5

合并指数。

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解题步骤 5.5.4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5.5.4.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

解题步骤 5.5.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.5.1

从 $2 \sqrt[3]{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

解题步骤 5.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.5.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.5.2.3

重写表达式。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

对 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

将 ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{6^{2}}$ 。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

解题步骤 9.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

解题步骤 9.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$- 3 \sqrt[3]{36}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 运用乘积法则。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.2.1

将 ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[3]{6^{4}}$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.2

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.3

将 $1296$ 重写为 $6^{3} \cdot 6$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.3.1

从 $1296$ 中分解出因数 $216$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.3.2

将 $216$ 重写为 $6^{3}$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.2.4

从根式下提出各项。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $6$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $6 \sqrt[3]{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.4.2.2

约去公因数。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.4.2.3

重写表达式。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

解题步骤 11.2.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 3 \sqrt[3]{6}$ 和 $12 \sqrt[3]{6}$ 相加。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ 。

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

解题步骤 12

这些是 $g (x) = - x^{4} + 3 x$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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