微积分学示例

$\int \ln (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (1 + x^{2})$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (1 + x^{2}) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

解题步骤 9.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

解题步骤 11

化简。

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

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