微积分学示例

$y = x^{3} \cdot \cos (x^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x^{3})$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2})$

解题步骤 6

重新排序项。

$- 3 x^{5} \sin (x^{3}) + 3 x^{2} \cos (x^{3})$

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