微积分学示例

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 5

使 $u = 4 x - 6$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x - 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x - 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $4 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

解题步骤 12.2.2

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

解题步骤 12.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 12.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 12.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

解题步骤 12.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

解题步骤 13

使用 $4 x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

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