微积分学示例

\sum_{r = 0}^{7} r^{2} {(- x)}^{r}

$\sum_{r = 0}^{7} r^{2} {(- x)}^{r}$

解题步骤 1

分解总和使

r

$r$ 的初始值等于

1

$1$ 。

\sum_{r = 0}^{7} r^{2} {(- x)}^{r} = \sum_{r = 1}^{7} r^{2} {(- x)}^{r} + \sum_{r = 0}^{0} r^{2} {(- x)}^{r}

$\sum_{r = 0}^{7} r^{2} {(- x)}^{r} = \sum_{r = 1}^{7} r^{2} {(- x)}^{r} + \sum_{r = 0}^{0} r^{2} {(- x)}^{r}$

解题步骤 2

计算

\sum_{r = 1}^{7} r^{2} {(- x)}^{r}

$\sum_{r = 1}^{7} r^{2} {(- x)}^{r}$ 。

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解题步骤 2.1

展开

r

$r$ 每个取值的序列。

1^{2} {(- x)}^{1} + 2^{2} {(- x)}^{2} + 3^{2} {(- x)}^{3} + \dots + 7^{2} {(- x)}^{7}

$1^{2} {(- x)}^{1} + 2^{2} {(- x)}^{2} + 3^{2} {(- x)}^{3} + \dots + 7^{2} {(- x)}^{7}$

解题步骤 2.2

化简展开式。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 3

展开

r

$r$ 每个取值的序列。

0^{2} {(- x)}^{0}

$0^{2} {(- x)}^{0}$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

0 + 0^{2} {(- x)}^{0}

$0 + 0^{2} {(- x)}^{0}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将

0

$0$ 和

0^{2} {(- x)}^{0}

$0^{2} {(- x)}^{0}$ 相加。

0^{2} {(- x)}^{0}

$0^{2} {(- x)}^{0}$

解题步骤 5.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

0 {(- x)}^{0}

$0 {(- x)}^{0}$

解题步骤 5.3

对

- x

$- x$ 运用乘积法则。

0 ({(- 1)}^{0} x^{0})

$0 ({(- 1)}^{0} x^{0})$

解题步骤 5.4

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

0 (1 x^{0})

$0 (1 x^{0})$

解题步骤 5.5

将

x^{0}

$x^{0}$ 乘以

1

$1$ 。

0 x^{0}

$0 x^{0}$

解题步骤 5.6

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

0 \cdot 1

$0 \cdot 1$

解题步骤 5.7

将

0

$0$ 乘以

1

$1$ 。

0

$0$

0

$0$

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