微积分学示例

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = \frac{2}{x}$ 。然后使 $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ ，以便 $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{2}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{2}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- x^{- 2})$

解题步骤 2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{- 2}$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2

合并项。

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解题步骤 2.1.6.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

解题步骤 7

使用 $\frac{2}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$

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