微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 40 x^{2} - 13$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 40 x^{2} - 13$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.6

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.2.6.2.4

用 $- 2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 40 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $40$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (80 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [80 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $80 x$ 对 $x$ 的导数是 $80 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 80 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 80 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 80$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.6

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.2.6.2.4

用 $- 2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [40 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 40 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $40$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x + \frac{d}{d x} [- 13]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 80 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 80 x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) + 80 x = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $80 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot - 40 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot - 40 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x (- 40)$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$- 2 x (x^{2} - 3 x - 40) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 40$ ，和为 $- 3$ 。

$- 8, 5$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 2 x ((x - 8) (x + 5)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 x (x - 8) (x + 5) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 5.6

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 5.7

最终解为使 $- 2 x (x - 8) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 8, - 5$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 8, - 5$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 {(0)}^{2} + 12 (0) + 80$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 6 \cdot 0 + 12 (0) + 80$

解题步骤 9.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 12 (0) + 80$

解题步骤 9.1.3

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 80$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 80$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $80$ 相加。

$80$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 2 {(0)}^{3} + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 40 {(0)}^{2} - 13$

解题步骤 11.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 40 \cdot 0 - 13$

解题步骤 11.2.1.6

将 $40$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 13$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 - 13$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 13$

解题步骤 11.2.2.3

从 $0$ 中减去 $13$ 。

$f (0) = - 13$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 13$ 。

$y = - 13$

解题步骤 12

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 {(8)}^{2} + 12 (8) + 80$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 \cdot 64 + 12 (8) + 80$

解题步骤 13.1.2

将 $- 6$ 乘以 $64$ 。

$- 384 + 12 (8) + 80$

解题步骤 13.1.3

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$- 384 + 96 + 80$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 384$ 和 $96$ 相加。

$- 288 + 80$

解题步骤 13.2.2

将 $- 288$ 和 $80$ 相加。

$- 208$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 8$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 8$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{4} + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot 4096 + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot 4096 + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.2.2

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2048)) + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.2.3

约去公因数。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2048) + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.2.4

重写表达式。

$f (8) = - 1 \cdot 2048 + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2048$ 。

$f (8) = - 2048 + 2 {(8)}^{3} + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (8) = - 2048 + 2 \cdot 512 + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.5

将 $2$ 乘以 $512$ 。

$f (8) = - 2048 + 1024 + 40 {(8)}^{2} - 13$

解题步骤 15.2.1.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (8) = - 2048 + 1024 + 40 \cdot 64 - 13$

解题步骤 15.2.1.7

将 $40$ 乘以 $64$ 。

$f (8) = - 2048 + 1024 + 2560 - 13$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 2048$ 和 $1024$ 相加。

$f (8) = - 1024 + 2560 - 13$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 1024$ 和 $2560$ 相加。

$f (8) = 1536 - 13$

解题步骤 15.2.2.3

从 $1536$ 中减去 $13$ 。

$f (8) = 1523$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $1523$ 。

$y = 1523$

解题步骤 16

计算在 $x = - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) + 80$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 \cdot 25 + 12 (- 5) + 80$

解题步骤 17.1.2

将 $- 6$ 乘以 $25$ 。

$- 150 + 12 (- 5) + 80$

解题步骤 17.1.3

将 $12$ 乘以 $- 5$ 。

$- 150 - 60 + 80$

解题步骤 17.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $- 150$ 中减去 $60$ 。

$- 210 + 80$

解题步骤 17.2.2

将 $- 210$ 和 $80$ 相加。

$- 130$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 5$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 5$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = - 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = - \frac{1}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + 2 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 5) = - \frac{1}{2} \cdot 625 + 2 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 625$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.1

将 $625$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 5) = - 625 (\frac{1}{2}) + 2 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.2.2

组合 $- 625$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- 5) = \frac{- 625}{2} + 2 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + 2 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + 2 \cdot - 125 + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 125$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} - 250 + 40 {(- 5)}^{2} - 13$

解题步骤 19.2.1.6

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} - 250 + 40 \cdot 25 - 13$

解题步骤 19.2.1.7

将 $40$ 乘以 $25$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} - 250 + 1000 - 13$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $- 250$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250}{1} + 1000 - 13$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{- 250}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1000 - 13$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{- 250}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + 1000 - 13$

解题步骤 19.2.2.4

将 $1000$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000}{1} - 13$

解题步骤 19.2.2.5

将 $\frac{1000}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000}{1} \cdot \frac{2}{2} - 13$

解题步骤 19.2.2.6

将 $\frac{1000}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000 \cdot 2}{2} - 13$

解题步骤 19.2.2.7

将 $- 13$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000 \cdot 2}{2} + \frac{- 13}{1}$

解题步骤 19.2.2.8

将 $\frac{- 13}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000 \cdot 2}{2} + \frac{- 13}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 19.2.2.9

将 $\frac{- 13}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 5) = - \frac{625}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2} + \frac{1000 \cdot 2}{2} + \frac{- 13 \cdot 2}{2}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 5) = \frac{- 625 - 250 \cdot 2 + 1000 \cdot 2 - 13 \cdot 2}{2}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

将 $- 250$ 乘以 $2$ 。

$f (- 5) = \frac{- 625 - 500 + 1000 \cdot 2 - 13 \cdot 2}{2}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $1000$ 乘以 $2$ 。

$f (- 5) = \frac{- 625 - 500 + 2000 - 13 \cdot 2}{2}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $- 13$ 乘以 $2$ 。

$f (- 5) = \frac{- 625 - 500 + 2000 - 26}{2}$

解题步骤 19.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $- 625$ 中减去 $500$ 。

$f (- 5) = \frac{- 1125 + 2000 - 26}{2}$

解题步骤 19.2.5.2

将 $- 1125$ 和 $2000$ 相加。

$f (- 5) = \frac{875 - 26}{2}$

解题步骤 19.2.5.3

从 $875$ 中减去 $26$ 。

$f (- 5) = \frac{849}{2}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $\frac{849}{2}$ 。

$y = \frac{849}{2}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 40 x^{2} - 13$ 的局部极值。

$(0, - 13)$ 是一个局部最小值

$(8, 1523)$ 是一个局部最大值

$(- 5, \frac{849}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例