微积分学示例

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

将 $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 6

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 6.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

解题步骤 7.3

将 $2$ 移到 $\tan^{2} (u)$ 的左侧。

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

解题步骤 9

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u)$ 的形式。

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 12

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

解题步骤 13

化简。

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

解题步骤 14

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

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