微积分学示例

$\frac{\ln (\sqrt{x})}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{0}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 16

化简 $x^{0}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 17

将 $\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 18

化简项。

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解题步骤 18.1

合并。

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

解题步骤 18.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

约去公因数。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

解题步骤 18.3.2

重写表达式。

$\frac{1 + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

解题步骤 18.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

解题步骤 19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{2 x^{2}}$

解题步骤 20

化简项。

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解题步骤 20.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{2}}$

解题步骤 20.2

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{1 - \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2 x^{2}}$

解题步骤 20.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 20.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

解题步骤 20.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

解题步骤 20.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (x^{1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 20.2.3

化简。

$\frac{1 - \ln (x)}{2 x^{2}}$

微积分学 示例

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