微积分学示例

$π \int_{0}^{1} (9 - 6 x + x^{2}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$π \int_{0}^{1} 9 - 6 x + x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$π (\int_{0}^{1} 9 d x + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$π (9 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $9 x]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ 。

$π (9 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$π (9 x + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $9 x + \frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$π (9 + \frac{1^{3}}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$π (9 + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.3

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.4

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.5

在公分母上合并分子。

$π (\frac{9 \cdot 3 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.6.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$π (\frac{27 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $27$ 和 $1$ 相加。

$π (\frac{28}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.7

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.9

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.9.2.2

约去公因数。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.9.2.3

重写表达式。

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{28}{3} - (0 + 0) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{28}{3} - 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{28}{3} + 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.12

将 $\frac{28}{3}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{28}{3} - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.13

一的任意次幂都为一。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 8.2.3.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

解题步骤 8.2.3.15

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.15.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

解题步骤 8.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.3.15.2.2

约去公因数。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.3.15.2.3

重写表达式。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 8.2.3.15.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 0))$

解题步骤 8.2.3.16

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} + 0))$

解题步骤 8.2.3.17

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 8.2.3.18

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 6}{2})$

解题步骤 8.2.3.19

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.19.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2})$

解题步骤 8.2.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)})$

解题步骤 8.2.3.19.2.2

约去公因数。

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.3.19.2.3

重写表达式。

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3}{1})$

解题步骤 8.2.3.19.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{28}{3} - 3)$

解题步骤 8.2.3.20

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{28}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 8.2.3.21

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

解题步骤 8.2.3.22

在公分母上合并分子。

$π \frac{28 - 3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 8.2.3.23

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.23.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$π \frac{28 - 9}{3}$

解题步骤 8.2.3.23.2

从 $28$ 中减去 $9$ 。

$π \frac{19}{3}$

解题步骤 8.2.3.24

组合 $π$ 和 $\frac{19}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 19}{3}$

解题步骤 8.2.3.25

将 $19$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{19 π}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{19 π}{3}$

小数形式：

$19.89675347 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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