微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{6 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

从 $6 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x) + 2}{(x + 1) (2 x + 1)}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $2 (3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (2 x + 1)$ 。

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.6

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $2 (3 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 (3 x + 1) = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.7

运用分配律。

$2 (3 x) + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.8

乘。

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解题步骤 1.1.8.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 2 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.1.1

约去公因数。

$6 x + 2 = \frac{A (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.1.2

用 $(A) (2 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$6 x + 2 = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.2

运用分配律。

$6 x + 2 = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.3

使用乘法的交换性质重写。

$6 x + 2 = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.4

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.5

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.5.1

约去公因数。

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 1.1.9.5.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$6 x + 2 = 2 A x + A + (B) (x + 1)$

解题步骤 1.1.9.6

运用分配律。

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.1.9.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B$

解题步骤 1.1.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.10.1

移动 $A$ 。

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

解题步骤 1.1.10.2

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

解题步骤 1.1.10.3

移动 $A$ 。

$6 x + 2 = 2 x A + B x + A + B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = 2 A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $6 = 2 A + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $2 A + B = 6$ 。

$2 A + B = 6$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 A$ 。

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $6 - 2 A$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $6 - 2 A$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $2 = A + 6 - 2 A$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

去掉圆括号。

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

从 $A$ 中减去 $2 A$ 。

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3

在 $2 = - A + 6$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $- A + 6 = 2$ 。

$- A + 6 = 2$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- A = 2 - 6$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- A = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $- A = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.3.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $4$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $4$ 替换 $B = 6 - 2 A$ 中所有出现的 $A$ .

$B = 6 - 2 \cdot 4$

$A = 4$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $6 - 2 \cdot 4$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$B = 6 - 8$

$A = 4$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

从 $6$ 中减去 $8$ 。

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$B = - 2, A = 4$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{4}{x + 1} + \frac{- 2}{2 x + 1}$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x)$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x$

解题步骤 9

使 $u_{2} = 2 x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 9.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 9.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

解题步骤 9.5

化简。

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解题步骤 9.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 2 + 1$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 9.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 9.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.2

约去公因数。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.3

重写表达式。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 1}{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

解题步骤 14.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 14.3

去掉圆括号。

$4 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 15.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$4 \ln (\frac{2}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 16.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$4 \ln (\frac{2}{1}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 16.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 16.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{| 1 |})$

解题步骤 16.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{1})$

解题步骤 16.6

用 $3$ 除以 $1$ 。

$4 \ln (2) - \ln (3)$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \ln (2) - \ln (3)$

小数形式：

$1.67397643 \dots$

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例