微积分学示例

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{h w}$ 重写成 ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d h} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{60}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{1}{60} \frac{d}{d h} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{60} \frac{d}{d h} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (h) = h w$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $h w$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 2.3

使用 $h w$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h w])$

解题步骤 7.4

将 $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{60}$ 。

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d h} [h w]$

解题步骤 7.5

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h w]$

解题步骤 8

因为 $w$ 对于 $h$ 是常数，所以 $h w$ 对 $h$ 的导数是 $w \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (w \frac{d}{d h} [h])$

解题步骤 9

组合 $w$ 和 $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 11

将 $\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

对 $h w$ 运用乘积法则。

$\frac{w}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 12.2

合并项。

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解题步骤 12.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $w^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{w \cdot w^{- \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2.2

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $w$ 乘以 $w^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.2.2.1.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{w^{1} w^{- \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{w^{1 - \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{w^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{w^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{w^{\frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

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