微积分学示例

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

解题步骤 1.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

解题步骤 1.5.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

解题步骤 1.5.5

组合 $\frac{- 5}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.5.6

将负号移到分数的前面。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.6

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5 x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.5

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.6

组合 $\frac{- 20}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7

约去 $- 20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7.2.4

用 $- 5 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

解题步骤 2.4.3

将 $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$

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