微积分学示例

$\int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{14}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$14 \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $- 25 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $25$ 。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.4

使用勾股恒等式。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.5

将 $25 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(5 \cos (t))}^{2}$ 。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5 \cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $5 \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5} d t$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$14 (\frac{1}{5} t]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t$ 。

$14 (\frac{t}{5}]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{t}{5}$ 在 $0$ 处和在 $- \frac{π}{6}$ 处的值。

$14 ((\frac{0}{5}) - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$14 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$14 (\frac{0}{1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2.1.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$14 (0 - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{- \frac{π}{6}}{5}$ 重写为乘积形式。

$14 (0 - (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}))$

解题步骤 5.2.2.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$14 (0 - - \frac{π}{5 \cdot 6})$

解题步骤 5.2.2.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$14 (0 - - \frac{π}{30})$

解题步骤 5.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$14 (0 + 1 \frac{π}{30})$

解题步骤 5.2.2.6

将 $\frac{π}{30}$ 乘以 $1$ 。

$14 (0 + \frac{π}{30})$

解题步骤 5.2.2.7

将 $0$ 和 $\frac{π}{30}$ 相加。

$14 \frac{π}{30}$

解题步骤 5.2.2.8

组合 $14$ 和 $\frac{π}{30}$ 。

$\frac{14 π}{30}$

解题步骤 5.2.2.9

约去 $14$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.9.1

从 $14 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 π)}{30}$

解题步骤 5.2.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.9.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 π)}{2 (15)}$

解题步骤 5.2.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (7 π)}{2 \cdot 15}$

解题步骤 5.2.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{7 π}{15}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7 π}{15}$

小数形式：

$1.46607657 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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