微积分学示例

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

解题步骤 1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

解题步骤 2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

解题步骤 4.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $arcsec (| x |)$ 。

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ 在 $2$ 处和在 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处的值。

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

解题步骤 5.2.2

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

解题步骤 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 约为 $1.15470053$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.4

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

解题步骤 5.6.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 5.7.3

重写表达式。

$4 \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8

组合 $4$ 和 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{4 π}{6}$

解题步骤 5.9

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 π)}{6}$

解题步骤 5.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

解题步骤 5.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 π}{3}$

小数形式：

$2.09439510 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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