微积分学示例

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ 。然后使 $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 - \cos^{2} (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $3 - \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $0$ 和 $2 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 2.1.4.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.1.4.4

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 6}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ 。

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

组合 ${u_{2}}^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

解题步骤 4.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{2}}^{- 5}$ 移动到分母。

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

解题步骤 4.2

化简。

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 4.3.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ 。

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 4.3.3

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 $5 {u_{2}}^{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

解题步骤 5

使用 $3 - \cos^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$

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