微积分学示例

$\frac{x - 1}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{x - 1}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x} d x$

解题步骤 4

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\int d x + \int \frac{- 1}{x} d x$

$\int d x + \int \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$\int d x + \int - \frac{1}{x} d x$

$\int d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$x + C - (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$x - \ln (| x |) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x - \ln (| x |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$