微积分学示例

$\int x (3 x + 2) (x - 3) d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int (u + 3) (3 u + 3 \cdot 3 + 2) u d u$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3 + 2) + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2) u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

解题步骤 2.8

运用分配律。

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3)) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

解题步骤 2.9

运用分配律。

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

解题步骤 2.10

运用分配律。

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3)) u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.11

运用分配律。

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.12

将 $u$ 和 $3$ 重新排序。

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.13

移动 $u$ 。

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.14

将 $u$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 \cdot u \cdot u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.15

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 (u^{1} u) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.16

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 (u^{1} u^{1}) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 u^{1 + 1} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 3 u^{2} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.19

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 (u^{2} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 u^{2 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.22

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 3 u^{3} + 9 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.23

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.24

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u^{1}) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{1 + 1} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.27

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.28

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.29

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.30

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.31

将 $9 u^{2}$ 和 $2 u^{2}$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.32

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.33

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.34

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.35

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.36

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.37

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 9 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.38

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 3 \cdot 2 u d u$

解题步骤 2.39

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 6 u d u$

解题步骤 2.40

将 $27 u$ 和 $6 u$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 33 u d u$

解题步骤 2.41

将 $11 u^{2}$ 和 $9 u^{2}$ 相加。

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

解题步骤 6

由于 $20$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 \int u^{2} d u + \int 33 u d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u$

解题步骤 8

由于 $33$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $33$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 \frac{u^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $33$ 和 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

解题步骤 11

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3 {(x - 3)}^{4}}{4} + \frac{20 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + \frac{20}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2} + C$

微积分学 示例

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