微积分学示例

$y^{x y}$

解题步骤 1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = y$ 及 $g = x y$ 。

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{x y - 1}$ 。

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解题步骤 2.1

移动 $y^{x y - 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 2.2

将 $y^{x y - 1}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 2.3

合并 $x y - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 2.3.2

将 $x y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 4.2

将 $0$ 乘以 $y^{x y}$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 5

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

解题步骤 6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

解题步骤 9

将 $y^{x y + 1}$ 乘以 $1$ 。

$y^{x y + 1} \ln (y)$

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