微积分学示例

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 20 x^{3} + 24 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 5.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.4

将 $a = - 5$ 、 $b = 12$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $20$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $144$ 中减去 $40$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $104$ 重写为 $2^{2} \cdot 26$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $104$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $20$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $144$ 中减去 $40$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $104$ 重写为 $2^{2} \cdot 26$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

从 $104$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.7.1

化简分子。

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解题步骤 5.7.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.2.2

将 $20$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.3

从 $144$ 中减去 $40$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.4

将 $104$ 重写为 $2^{2} \cdot 26$ 。

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解题步骤 5.7.1.4.1

从 $104$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.7.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

解题步骤 5.7.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.8

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5.9

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

解题步骤 5.10

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 2.2198039$

解题步骤 5.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.11.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 5.11.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.11.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 5.11.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 5.11.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 5.12

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

解题步骤 5.13

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.13.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 0.18019609$

解题步骤 5.13.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 5.13.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.13.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 5.13.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 5.13.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 5.14

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ 。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt{2.2198039}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ 。

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

解题步骤 9.2

对 $2.2198039$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \sqrt{2.2198039}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{2.2198039}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \sqrt{2.2198039}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{2.2198039}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ 。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 11.2.1.2

对 $2.2198039$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 11.2.1.3

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ 。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 11.2.1.4

对 $2.2198039$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ 。

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 12

计算在 $x = - \sqrt{2.2198039}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

对 $- \sqrt{2.2198039}$ 运用乘积法则。

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13.3

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ 。

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13.4

对 $2.2198039$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13.5

将 $- 1$ 乘以 $- 20$ 。

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

解题步骤 13.6

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \sqrt{2.2198039}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{2.2198039}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \sqrt{2.2198039}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2.2198039}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- \sqrt{2.2198039}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{5}$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{5}$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{5}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.2.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.4

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.5

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.6

对 $2.2198039$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.7

对 $- \sqrt{2.2198039}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.9

将 ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.10

对 $2.2198039$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

解题步骤 15.2.1.12

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ 。

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

解题步骤 16

计算在 $x = \sqrt{0.18019609}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

解题步骤 17

化简每一项。

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解题步骤 17.1

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ 。

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

解题步骤 17.2

对 $0.18019609$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \sqrt{0.18019609}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{0.18019609}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \sqrt{0.18019609}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\sqrt{0.18019609}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ 。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 19.2.1.2

对 $0.18019609$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 19.2.1.3

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ 。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 19.2.1.4

对 $0.18019609$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 19.2.2

最终答案为 $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ 。

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 20

计算在 $x = - \sqrt{0.18019609}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21

化简每一项。

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解题步骤 21.1

对 $- \sqrt{0.18019609}$ 运用乘积法则。

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21.3

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ 。

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21.4

对 $0.18019609$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21.5

将 $- 1$ 乘以 $- 20$ 。

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

解题步骤 21.6

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \sqrt{0.18019609}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{0.18019609}$ 是一个极大值

解题步骤 23

求 $x = - \sqrt{0.18019609}$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $- \sqrt{0.18019609}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

对 $- \sqrt{0.18019609}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{5}$ 。

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解题步骤 23.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{5}$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{5}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 23.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.2.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.4

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.5

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.6

对 $0.18019609$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.7

对 $- \sqrt{0.18019609}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.9

将 ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.10

对 $0.18019609$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

解题步骤 23.2.1.12

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 23.2.2

最终答案为 $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ 。

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

解题步骤 24

这些是 $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ 的局部极值。

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ 是一个局部最大值

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ 是一个局部最小值

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ 是一个局部最小值

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 25

微积分学 示例

微积分学示例