微积分学示例

$y = \sqrt[3]{x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.3

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.7

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.8.1

移动 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8.2

将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.8.5

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.9

组合 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.11.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.11.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.11.5.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12

要将 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.13

组合 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.14

在公分母上合并分子。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.15

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.16

将 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.17

要将 $- 2 x^{\frac{4}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.18

组合 $- 2 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.20

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.21

从 $- 6 x^{\frac{4}{3}}$ 中减去 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{- 7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.22

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$

微积分学 示例

微积分学示例