微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 x^{3} - 4 x + 2 x^{6}}{5 x^{3} - 3 x^{2}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.4

约去 $x^{6}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $2 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{- 3}{x}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 - \frac{3}{x}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，分数 $\frac{4}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - \frac{3}{x}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，分数 $\frac{3}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - 0}$

解题步骤 5

由于其分子为无穷，而分母趋于常数，因此该分式 $\frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - 0}$ 趋于负无穷。

$- \infty$

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