微积分学示例

$\int x^{2} {(2 x + 5)}^{2} d x$

解题步骤 1

展开 $x^{2} {(2 x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 x + 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 5) (2 x + 5)$ 。

$\int x^{2} ((2 x + 5) (2 x + 5)) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.5

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.7

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.8

移动 $x$ 。

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x \cdot x) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.9

移动括号。

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x) x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.10

移动括号。

$\int x^{2} (2 \cdot 2) x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.11

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.12

移动 $x$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot 5 x) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.13

移动括号。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot 5) x + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.14

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.15

移动括号。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 2) x + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.16

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.17

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (x^{2} x^{1}) x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{2 + 1} x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{3} x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (x^{3} x^{1}) + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{3 + 1} + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.25

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 10 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{2 + 1} + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.28

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.29

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.30

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2 + 1} + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.32

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{3} + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

解题步骤 1.33

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{3} + 25 x^{2} d x$

解题步骤 1.34

将 $10 x^{3}$ 和 $10 x^{3}$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 20 x^{3} + 25 x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{4} d x + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{4} d x + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

解题步骤 5

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 \int x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 25 x^{2} d x$

解题步骤 7

由于 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 \int x^{2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + 25 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + 25 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $25$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{4}{5} x^{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{3} x^{3} + C$

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