微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

解题步骤 1.1.4.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$3 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去公因数。

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.2.3

约去 $x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.2.3.2

重写表达式。

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 。

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

解题步骤 2.5.2

将 $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 $x^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

约去 $2$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4

化简指数。

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解题步骤 2.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4.1.1.2

化简。

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.4.2.1

化简 ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.4.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.5.4.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 2.5.4.2.1.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 2.5.4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 2.5.4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

解题步骤 2.5.4.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - \frac{1}{27}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.4

化简。

$27 x = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $27 x = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $27 x = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{27}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - \frac{1}{27}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- \frac{1}{27}$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $- \frac{1}{27}$ 运用乘积法则。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $\frac{1}{27}$ 运用乘积法则。

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $27$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $\frac{1}{729}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.7

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.8

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.9

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1.9.1

将 $729$ 重写为 $9^{3}$ 。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.9.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.10

乘以 $2 (- \frac{1}{27})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

解题步骤 4.1.2.1.10.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

解题步骤 4.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $\frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 2}{27}$

解题步骤 4.1.2.5

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{27}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

解题步骤 4.2.2.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$0 + 2 (0)$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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