微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - 5 \tan (2 x) + \cos (x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} 5 \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

解题步骤 2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 lim_{x \to \frac{π}{3}} \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$- 5 \tan (lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

解题步骤 6

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$- 5 \tan (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 7.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- 5 (- \tan (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 7.3

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- 5 (- \sqrt{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \sqrt{3} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 7.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

小数形式：

$9.16025403 \dots$

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