微积分学示例

$- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

解题步骤 1

将 $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- \frac{1}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{15} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.5

组合 $\frac{- 6}{15}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6

约去 $- 6$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- \frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.5

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.6

组合 $\frac{- 10}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.7

约去 $- 10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.7.1

从 $- 10 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.7.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.7.2.4

用 $- 2 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

解题步骤 2.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.4.3

将 $3$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ 。

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $- 2 x^{4}$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} x^{2} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.3

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

解题步骤 3.2.1.4

从 $- 2 x^{2} (x^{2}) - 2 x^{2} (- 10 x)$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

解题步骤 3.2.1.5

从 $- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} (24)$ 中分解出因数 $- 2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 0$

解题步骤 3.2.2

因数。

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解题步骤 3.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $- 10$ 。

$- 6, - 4$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 2 x^{2} ((x - 6) (x - 4)) = 0$

解题步骤 3.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 3.7

最终解为使 $- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 6, 4$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{15} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{1}{15}) + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{15}$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $6$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot {(6)}^{6} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $6$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{15}$ 中前置负号移到分子中。

$f (6) = \frac{- 1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (6) = \frac{- 1}{3 (5)} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.3

从 $46656$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.4

约去公因数。

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.2.5

重写表达式。

$f (6) = \frac{- 1}{5} \cdot 15552 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.3

组合 $\frac{- 1}{5}$ 和 $15552$ 。

$f (6) = \frac{- 1 \cdot 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $15552$ 。

$f (6) = \frac{- 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.6

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 {(6)}^{4}$

解题步骤 4.3.2.1.7

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 \cdot 1296$

解题步骤 4.3.2.1.8

将 $- 4$ 乘以 $1296$ 。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 5184$

解题步骤 4.3.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $7776$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} - 5184$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $\frac{7776}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} \cdot \frac{5}{5} - 5184$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $\frac{7776}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} - 5184$

解题步骤 4.3.2.2.4

将 $- 5184$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1}$

解题步骤 4.3.2.2.5

将 $\frac{- 5184}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 4.3.2.2.6

将 $\frac{- 5184}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184 \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (6) = \frac{- 15552 + 7776 \cdot 5 - 5184 \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.1

将 $7776$ 乘以 $5$ 。

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 5184 \cdot 5}{5}$

解题步骤 4.3.2.4.2

将 $- 5184$ 乘以 $5$ 。

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 25920}{5}$

解题步骤 4.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.5.1

将 $- 15552$ 和 $38880$ 相加。

$f (6) = \frac{23328 - 25920}{5}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $23328$ 中减去 $25920$ 。

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

解题步骤 4.3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

解题步骤 4.3.2.6

最终答案为 $- \frac{2592}{5}$ 。

$- \frac{2592}{5}$

解题步骤 4.4

通过将 $6$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 中求得的点为 $(6, - \frac{2592}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(6, - \frac{2592}{5})$

解题步骤 4.5

将 $4$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot {(4)}^{6} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对 $4$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot 4096 + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{15} \cdot 4096$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.2.1

将 $4096$ 乘以 $- 1$ 。

$f (4) = - 4096 (\frac{1}{15}) + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2.1.2.2

组合 $- 4096$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$f (4) = \frac{- 4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2.1.4

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 {(4)}^{4}$

解题步骤 4.5.2.1.5

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 \cdot 256$

解题步骤 4.5.2.1.6

将 $- 4$ 乘以 $256$ 。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 1024$

解题步骤 4.5.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 $1024$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} - 1024$

解题步骤 4.5.2.2.2

将 $\frac{1024}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} \cdot \frac{15}{15} - 1024$

解题步骤 4.5.2.2.3

将 $\frac{1024}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} - 1024$

解题步骤 4.5.2.2.4

将 $- 1024$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1}$

解题步骤 4.5.2.2.5

将 $\frac{- 1024}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1} \cdot \frac{15}{15}$

解题步骤 4.5.2.2.6

将 $\frac{- 1024}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024 \cdot 15}{15}$

解题步骤 4.5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{- 4096 + 1024 \cdot 15 - 1024 \cdot 15}{15}$

解题步骤 4.5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.4.1

将 $1024$ 乘以 $15$ 。

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 1024 \cdot 15}{15}$

解题步骤 4.5.2.4.2

将 $- 1024$ 乘以 $15$ 。

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 15360}{15}$

解题步骤 4.5.2.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.2.5.1

将 $- 4096$ 和 $15360$ 相加。

$f (4) = \frac{11264 - 15360}{15}$

解题步骤 4.5.2.5.2

从 $11264$ 中减去 $15360$ 。

$f (4) = \frac{- 4096}{15}$

解题步骤 4.5.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{4096}{15}$

解题步骤 4.5.2.6

最终答案为 $- \frac{4096}{15}$ 。

$- \frac{4096}{15}$

解题步骤 4.6

通过将 $4$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ 中求得的点为 $(4, - \frac{4096}{15})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(4, - \frac{4096}{15})$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5}), (4, - \frac{4096}{15})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - 2 {(- 0.1)}^{4} + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 2 \cdot 0.0001 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.0001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 \cdot - 0.001 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 \cdot 0.01$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 48$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 0.48$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $- 0.0002$ 中减去 $0.02$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.0202 - 0.48$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 0.0202$ 中减去 $0.48$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.5002$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.5002$ 。

$- 0.5002$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.5002$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 4)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = - 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (2) = - 2 \cdot 16 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$f'' (2) = - 32 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = - 32 + 20 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 \cdot 4$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 48$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = - 32 + 160 - 192$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 32$ 和 $160$ 相加。

$f'' (2) = 128 - 192$

解题步骤 7.2.2.2

从 $128$ 中减去 $192$ 。

$f'' (2) = - 64$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 64$ 。

$- 64$

解题步骤 7.3

在 $2$ ，二阶导数为 $- 64$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 4)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 4)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(4, 6)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (5) = - 2 {(5)}^{4} + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (5) = - 2 \cdot 625 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $625$ 。

$f'' (5) = - 1250 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (5) = - 1250 + 20 \cdot 125 - 48 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $20$ 乘以 $125$ 。

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 \cdot 25$

解题步骤 8.2.1.6

将 $- 48$ 乘以 $25$ 。

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 1200$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- 1250$ 和 $2500$ 相加。

$f'' (5) = 1250 - 1200$

解题步骤 8.2.2.2

从 $1250$ 中减去 $1200$ 。

$f'' (5) = 50$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $50$ 。

$50$

解题步骤 8.3

在 $5$ 处，二阶导数为 $50$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(4, 6)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(4, 6)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $6.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{4} + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $6.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 1384.5841 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1384.5841$ 。

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 9.2.1.3

对 $6.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 \cdot 226.981 - 48 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 9.2.1.4

将 $20$ 乘以 $226.981$ 。

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 {(6.1)}^{2}$

解题步骤 9.2.1.5

对 $6.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 \cdot 37.21$

解题步骤 9.2.1.6

将 $- 48$ 乘以 $37.21$ 。

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 1786.08$

解题步骤 9.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $- 2769.1682$ 和 $4539.62$ 相加。

$f'' (6.1) = 1770.4518 - 1786.08$

解题步骤 9.2.2.2

从 $1770.4518$ 中减去 $1786.08$ 。

$f'' (6.1) = - 15.6282$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- 15.6282$ 。

$- 15.6282$

解题步骤 9.3

在 $6.1$ ，二阶导数为 $- 15.6282$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(6, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(6, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$ 。

$(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例