微积分学示例

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x^{5}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ 重写成 ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3

使用 $x + x^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 5.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5.3.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $x + x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 17

化简分子。

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解题步骤 17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 17.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 18

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

重新排序 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ 的因式。

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.2

将 $1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.3

化简分子。

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解题步骤 19.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.5

乘以 $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

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解题步骤 19.5.1

将 $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 19.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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