微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{12}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{12} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $\frac{4}{12}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.5

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.5

组合 $\frac{- 3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.1.6.2

将 $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.6

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.7

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.7.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.7.2.2

约去公因数。

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.7.2.3

重写表达式。

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.3.7.2.4

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $x^{2} - 3 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = x^{2} - 3 x + 2$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $x^{2} - 3 x + 2$ 。

$x^{2} - 3 x + 2$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 1.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $(x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 2$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(1, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.5) = {(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.5) = 2.25 - 3 \cdot 1.5 + 2$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1.5$ 。

$f'' (1.5) = 2.25 - 4.5 + 2$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2.25$ 中减去 $4.5$ 。

$f'' (1.5) = - 2.25 + 2$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 2.25$ 和 $2$ 相加。

$f'' (1.5) = - 0.25$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 0.25$ 。

$- 0.25$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(1, 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (1.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 2)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 16 - 3 \cdot 4 + 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = 16 - 12 + 2$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $16$ 中减去 $12$ 。

$f'' (4) = 4 + 2$

解题步骤 6.2.2.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (4) = 6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(2, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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