微积分学示例

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

解题步骤 1

展开 ${(4 - x^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 ${(4 - x^{2})}^{2}$ 重写为 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 。

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

解题步骤 1.5

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

解题步骤 1.6

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.9

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.11

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 1.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

解题步骤 1.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

解题步骤 1.14

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

解题步骤 1.15

将 $- 8 x^{2}$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

解题步骤 1.16

移动 $16$ 。

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 5

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ 和 $16 x]_{0}^{2}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3

要将 $32$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.4

组合 $32$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.5

在公分母上合并分子。

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.6.1

将 $32$ 乘以 $5$ 。

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.6.2

将 $32$ 和 $160$ 相加。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.2

约去公因数。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.3

重写表达式。

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.9

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.12

将 $\frac{192}{5}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 9.2.3.15

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.15.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 9.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.2

约去公因数。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.3

重写表达式。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

解题步骤 9.2.3.16

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

解题步骤 9.2.3.17

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

解题步骤 9.2.3.18

组合 $- 8$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

解题步骤 9.2.3.19

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

解题步骤 9.2.3.20

将负号移到分数的前面。

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

解题步骤 9.2.3.21

要将 $\frac{192}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

解题步骤 9.2.3.22

要将 $- \frac{64}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.2.3.23

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.23.1

将 $\frac{192}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.2.3.23.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.2.3.23.3

将 $\frac{64}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

解题步骤 9.2.3.23.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

解题步骤 9.2.3.24

在公分母上合并分子。

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

解题步骤 9.2.3.25

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.25.1

将 $192$ 乘以 $3$ 。

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

解题步骤 9.2.3.25.2

将 $- 64$ 乘以 $5$ 。

$π \frac{576 - 320}{15}$

解题步骤 9.2.3.25.3

从 $576$ 中减去 $320$ 。

$π \frac{256}{15}$

解题步骤 9.2.3.26

组合 $π$ 和 $\frac{256}{15}$ 。

$\frac{π \cdot 256}{15}$

解题步骤 9.2.3.27

将 $256$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{256 π}{15}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{256 π}{15}$

小数形式：

$53.61651462 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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