微积分学示例

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x - 6$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x - 6$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 6$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$u_{lower} = - 6$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 12 - 6$

解题步骤 1.5

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{36 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 6 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $6 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $6 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 36 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

将 $36 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(6 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

由于 $36$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $36$ 移到积分外。

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $36$ 。

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 2 t$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 10.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 10.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

解题步骤 10.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 13

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ 。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

解题步骤 15.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $- π$ 处的值。

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 15.3

化简。

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解题步骤 15.3.1

在公分母上合并分子。

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 15.3.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 15.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.3.1

约去公因数。

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 15.3.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 16.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

解题步骤 16.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

解题步骤 16.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

解题步骤 16.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 16.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$18 (π + \frac{0}{2})$

解题步骤 16.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$18 (π + 0)$

解题步骤 17

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$18 π$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$18 π$

小数形式：

$56.54866776 \dots$

解题步骤 19

微积分学 示例

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