微积分学示例

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

解题步骤 1

将 ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

解题步骤 1.2

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{45}$ 且 $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x^{3} + 7)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 45$ 。

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x^{3} + 7)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3} + 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3} + 7$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 4.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $45$ 。

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

解题步骤 4.4.3

重新排序 $135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ 的因式。

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$

微积分学 示例

微积分学示例