微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.2.6.3

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.6

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

解题步骤 1.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.7.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

解题步骤 1.1.3.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

解题步骤 1.1.3.7.1.3

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

解题步骤 1.1.3.7.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

解题步骤 1.1.3.7.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{2 - 2}$

解题步骤 1.1.3.7.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $\sqrt{4 x - 4} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 x - 4}$ 重写成 ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 x - 4$ 。

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解题步骤 1.3.8.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 4$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.2.3

使用 $4 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.3

根据加法法则， $4 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.13

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.15

组合 $\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $4$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.16

将 $4$ 移到 ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.18

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.19

约去公因数。

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解题步骤 1.3.8.19.1

从 $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.19.2

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.8.19.3

重写表达式。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

解题步骤 1.4

将 ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{4 x - 4}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

解题步骤 1.5.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

解题步骤 1.5.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $\infty$ 且从右边趋于 $- \infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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