微积分学示例

$f (x) = \sin (a x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = a x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

解题步骤 1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\cos (a x) a$

解题步骤 1.2.3.2

重新排序 $\cos (a x) a$ 的因式。

$f' (x) = a \cos (a x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a \cos (a x)$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ 。

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = a x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a x$ 。

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.4

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

解题步骤 2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a^{2} (- \sin (a x))$

解题步骤 2.9.2

重新排序 $a^{2} (- \sin (a x))$ 的因式。

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- a^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- a^{2} \sin (a x)$ 对 $x$ 的导数是 $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ 。

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = a x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a x$ 。

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

解题步骤 3.8

将 $\cos (a x)$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- a^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- a^{3} \cos (a x)$ 对 $x$ 的导数是 $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ 。

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = a x$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a x$ 。

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.2.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.3.2

将 $a^{3}$ 乘以 $1$ 。

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.3.3

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $a^{3}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $a$ 。

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.4.2

将 $a$ 乘以 $a^{3}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 $\sin (a x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $a^{4} \sin (a x)$ 。

$a^{4} \sin (a x)$

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