微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x + 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = t + 4$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

解题步骤 3.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 4}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $u^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 3}$ 移动到分母。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $- \frac{1}{3 u^{3}}$ 在 $t + 4$ 处和在 $4$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

计算极限值。

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解题步骤 8.1.1

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

解题步骤 8.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

解题步骤 8.1.3

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

解题步骤 8.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

解题步骤 8.3

计算极限值。

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解题步骤 8.3.1

计算 $\frac{1}{192}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

解题步骤 8.3.2

化简答案。

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解题步骤 8.3.2.1

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

解题步骤 8.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$5 (0 + \frac{1}{192})$

解题步骤 8.3.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{192}$ 相加。

$5 (\frac{1}{192})$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{192}$ 。

$\frac{5}{192}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{192}$

小数形式：

$0.026041\overline{6}$

微积分学 示例

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