微积分学示例

$lim_{x \to 0} | \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} | \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $| \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & | \sin (x) | \cos (\frac{1}{x}) \\ - 0.1 & - 0.08376737 \\ - 0.01 & 0.00862304 \\ - 0.001 & - 0.00011038 \\ - 0.0001 & - 0.00001103 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $| \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} | \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $| \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & | \sin (x) | \cos (\frac{1}{x}) \\ 0.1 & - 0.08376737 \\ 0.01 & 0.00862304 \\ 0.001 & - 0.00092173 \\ 0.0001 & - 0.00009217 \\ 0.00001 & - 0.00000921 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $| \sin (x) | \cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

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